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为什么多元函数的x,y偏导数连续就可微?(相关问题)

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编辑 : 王远   发布时间: 2022.11.21 16:48:01   消息来源: 原创 阅读数: 492 收藏数: 0 + 收藏 +赞(0)
为什么多元函数的x,y偏导数连续就可微?怎么理解?我觉得它只是在平行x,y轴的两条导数上的那个点没有断,并不代表它在除了x,y轴方向和导数线上连续啊为什么偏导数
为什么多元函数的x,y偏导数连续就可微?怎么理解?我觉得它只是在平行x,y轴的两条导数上的那个点没有断,并不代表它在除了x,y轴方向和导数线上连续啊为什么偏导数连续是可微的充分不必要条件:
1、偏导数连续是可微分充分条件,但不是必要条件。
2、比如下面这个函数f(x,y),函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2;当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0。
3、考虑这个函数在(0,0)处的微分,显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a,其中a的表达式为:当⊿x,⊿y都是有理数时,a=⊿x^2+⊿y^2;当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0。
4、所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小,这也就说明了函数f(x,y)在(0,0)是可微的。
5、根据导数定义可以证明函数f在(0,0)处对于x和y的偏导数都等于0。
6、在除(0,0)以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的,因为当x,y为有理数,⊿x以无理数方向趋于0时,⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2,所以⊿f/⊿x的极限不存在。
7、所以f在(0,0)的任意一个领域内导数不满足连续条件,但f可微,所以那只是充分而非必要条件。
8、可微必定连续且偏导数存在;连续未必偏导数存在,偏导数存在也未必连续;连续未必可微,偏导数存在也未必可微;偏导数连续是可微的充分不必要条件。

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